La irrazonable efectividad de las matemáticas en las ciencias naturales

En un famoso artículo con este mismo título, publicado en 1960 por el físico Eugenio Wigner, terminaba con la siguiente conclusión:

“The miracle of appropriateness of the language of mathematics for the formulation of the laws of physics is a wonderful gift which we neither understand nor deserve.”

Dorato. “La irrazonable eficacia de las matemáticas” significa o se refiere a su potencia descriptiva, predictiva y explicativa para tratar con las leyes del mundo natural y social; y esta potencia depende, casi exclusivamente, del hecho de que estas leyes se expresan en forma matemática, que incluyen fenómenos aislados bajo el imperio de leyes, por lo que es muy importante establecer la relación entre eficacia matemática y leyes de la naturaleza.

Fue Galileo quien primero percibió que la naturaleza habla en el lenguaje de las matemáticas: que sin las matemáticas no hay comprensión verdadera de los procesos prolijos y aparentemente contradictorios del mundo. Y fue un matemático genial, Isaac Newton, quien recogió ese guante y formuló la primera combinación de ecuaciones para describir —o mejor, para comprender en profundidad— el movimiento de los objetos bajo la acción de las fuerzas, y la esencia geométrica que tienen en común la caída de una manzana, la órbita de la Luna y los movimientos caprichosos de los planetas en el cielo crepuscular. Fue la primera de las grandes unificaciones de la ciencia, y la que marcó el camino para el resto.

Las reglas para las operaciones con secuencias, es decir, con números irracionales, siguen perteneciendo a la categoría de reglas que se determinaron para reproducir reglas para las operaciones con cantidades que ya se conocían.

Conceptos matemáticos más avanzados, tales como números complejos, álgebras, operadores lineales, Borel setsãand esta lista podría ser continuada casi indefinidamente ideado que son sujetos aptos en los que el matemático puede demostrar su ingenio y el sentido de la belleza formal.

De hecho, la definición de estos conceptos, con la realización que las consideraciones interesantes e ingeniosas podrían ser aplicadas a ellos, es la primera demostración del ingenio del matemático que los define.

Los números complejos proporcionan un ejemplo particularmente llamativo para lo anterior. Ciertamente, nada en nuestra experiencia sugiere la introducción de estas cantidades. De hecho, si se pide a un matemático que justifique su interés en números complejos, señalará, con cierta indignación, a los muchos teoremas hermosos en la teoría de ecuaciones, de serie de la energía, y de funciones analíticas en general, que deben su origen a la introducción de números complejos. El matemático no está dispuesto a renunciar a su interés en estos logros más hermosos de su genio. El lector puede estar interesado, a este respecto, en los comentarios más bien probados de Hilbert sobre el intuicionismo que "busca romper y desfigurar las matemáticas.

 

¿Cuál es el papel de las matemáticas en las ciencias?

En mecánica y física, es esencial, la existencia de leyes físicas precisas lleva a modelos cuantitativos que permiten la predicción y a veces la acción. Recorriendo la jerarquía descendiente de Comte, se asiste a una degradación rápida de sus aplicaciones.

Las matemáticas, consideradas correctamente, poseen no solamente verdad, sino una suprema belleza fría y austera, como la de una escultura, que no apela a ningún aspecto de nuestra más débil naturaleza, y que carece de los primorosos atavíos de la pintura o de la música, aunque es de una pureza sublime y capaz de una perfección rigurosa como solamente puede exhibir el arte más elevado. El verdadero espíritu del deleite, de la exaltación, del sentimiento de ser más que humano, que es la piedra de toque de la más alta perfección, ha de buscarse en las matemáticas al igual que en la poesía.

¿Qué es la matemática?

La matemática surge de las necesidades prácticas que requiere el desarrollo de la sociedad en cada época histórica. Los problemas se resuelven, no sin mucho esfuerzo, y su resolución puede requerir de nuevos conceptos teóricos, como bien ejemplifica la mecánica de newton y el desarrollo del cálculo, el análisis de Fourier y el estudio de la propagación del calor, etc.

Alguien dijo una vez que la filosofía es el abuso de una terminología que se inventó precisamente con ese propósito. En algunas veces las fórmulas de las matemáticas nos dan la solución a un problema, ya que las matemáticas no se equivocan.  

La matemática pronto se acabaría  de teoremas interesantes si éstos se tuvieran que formular en términos de los conceptos que aparecen en los axiomas. Es más, si bien es una verdad incuestionable que los conceptos de la matemática elemental y en particular de la geometría elemental fueron formulados para describir entidades directamente sugeridas por el mundo real, ello no parece ser cierto en lo que se refiere a conceptos más avanzados, en particular los que representan un papel tan importante en la física.

 

¿Qué es la física?

El físico está interesado en descubrir las leyes de la naturaleza inanimada. Para entender esta afirmación, es necesario analizar el concepto, "ley de la naturaleza".

El mundo que nos rodea es de complejidad desconcertante y el hecho más obvio es que no podemos predecir el futuro. Aunque la broma atribuye solamente al optimista la opinión que el futuro es incierto, el optimista es derecho en este caso: el futuro es impredecible. Es, como Schrödinger ha comentado, un milagro que a pesar de la desconcertante complejidad del mundo, ciertas regularidades en los acontecimientos podrían ser descubiertas. 

Una de esas regularidades, descubierta por Galileo, es que dos rocas, retiradas al mismo tiempo desde la misma altura, llegan al suelo al mismo tiempo. Las leyes de la naturaleza se refieren a tales regularidades. La regularidad de Galileo es un prototipo de una gran clase de regularidades.

Es una regularidad sorprendente por tres razones.

La primera razón que sorprende es que es verdad no sólo en Pisa, y en el tiempo de Galileo, es verdad en todas partes en la tierra, era siempre verdad, y será siempre verdad. Esta propiedad de la regularidad es una propiedad de in variación reconocida y, como tuve ocasión de señalar hace algún tiempo, sin principios de in variación similar a los implicados en la generalización anterior de la observación de Galileo, la física no sería posible.

La segunda característica sorprendente es que la regularidad que estamos debatiendo es independiente de tantas condiciones que podrían tener un efecto sobre él. Es válido no importa si llueve o no, si el experimento se lleva a cabo en una habitación o desde la torre inclinada, no importa si la persona que cae las rocas es un hombre o una mujer. 

Es válido incluso si las dos rocas se retiran, simultáneamente y desde la misma altura, por dos personas diferentes. Hay, evidentemente, innumerables otras condiciones que son inmateriales desde el punto de vista de la validez de la regularidad de Galileo.

La naturaleza probabilista de las "leyes de la naturaleza" se manifiesta también en el caso de las máquinas, y puede ser verificada, al menos en el caso de los reactores nucleares, si se las ejecuta a una potencia muy baja. Sin embargo, la limitación adicional del alcance de las leyes de la naturaleza que se deriva de su naturaleza probabilista no desempeñará ningún papel en el resto de la discusión.

El propósito principal de la discusión anterior es señalar que las leyes de la naturaleza son todas declaraciones condicionales y se refieren solamente a una parte muy pequeña de nuestro conocimiento del mundo. 

Así, la mecánica clásica, que es el prototipo más conocido de una teoría física, da a los segundos derivados de las coordenadas posicionares de todos los cuerpos, sobre la base del conocimiento de las posiciones, etc., de estos cuerpos.

No da ninguna información sobre la existencia, las posiciones actuales, o las velocidades de estos cuerpos. Cabe mencionar, en aras de la exactitud, que descubrimos hace unos treinta años que incluso las declaraciones condicionales no pueden ser totalmente precisas: que las declaraciones condicionales son leyes de probabilidad que nos permiten sólo poner apuestas inteligentes en el futuro propiedades del mundo inanimado, basándose en el conocimiento del estado actual. No nos permiten hacer declaraciones categóricas, ni siquiera declaraciones categóricas condicionadas al estado actual del mundo.

El papel de la matemática en las teorías físicas

Naturalmente, utilizamos la matemática en la física cotidiana para evaluar los resultados de las leyes de la naturaleza, para aplicar las afirmaciones condicionales a las condiciones particulares que resultan prevalecer o bien nos interesan. Con el fin de que ello sea posible, las leyes de la naturaleza deben estar formuladas previamente en lenguaje matemático. Sin embargo, el papel de evaluar las consecuencias de teorías ya establecidas no es el más importante de la matemática en la física. La matemática o, más bien, la matemática aplicada, no es tanto la dueña de la situación en esta función, sino que sirve meramente como herramienta. 

La matemática representa también, sin embargo, un papel más soberano en la física. Esto estaba ya implícito en las afirmaciones efectuadas al discutir el papel de la matemática aplicada, según las cuales las leyes de la naturaleza deben haber sido formuladas en el lenguaje de la matemática para que puedan ser objeto del uso de la matemática aplicada.